Mathématiques P1-P2
L’ordre des champs pour la discipline « Mathématiques » n’a pas d’importance. Il n’y a pas un champ plus important qu’un autre.
Le référentiel a choisi de commencer par « Des objets de l’espace à la géométrie » (espace proche de l’élève) puis « Des grandeurs à la relation entre variables » (mesure de cet espace) puis « De l’arithmétique à l’algèbre » (quantification des mesures) et enfin « De l’organisation des données à la statistique ».
Le programme a choisi de respecter l’ordre des anciens programmes qui est également celui de l’école maternelle (aussi bien pour le programme que le référentiel).
Le passage à la dizaine nécessite de maitriser le principe de l’addition (et de la soustraction), une bonne connaissance des compléments à 10, des décompositions des nombres jusqu’à 10.
En P1, on va placer les bases : appréhender les nombres jusque 20 (comprendre le système numérique, les représenter, les mettre en lien, les décomposer, les recomposer…) ; le sens de l’addition ; la symbolisation de l’addition ; les additions dont le résultat vaut au maximum 10.
Lorsque tout cela sera mis en place, le passage à la dizaine prendra pleinement son sens et se construira sur des bases solides. L’élève aura des représentations mentales bien construites qu’il pourra utiliser facilement lors de l’ancrage à 10 et par la suite il pourra transférer cette stratégie à tous les passages de dizaine.
Le fait que le passage à la dizaine n’arrive qu’en P2 dans le référentiel (et donc le programme) signifie qu’on le formalise à partir de la P2. Cependant, on peut déjà le travailler lorsque cela s’y prête et lorsque les élèves sont prêts plus tôt à travers les jeux, les manipulations …
En P1, on travaille les 4 opérations au niveau du sens des opérations (manipulation, verbalisation). Par contre, on ne formalise que l’addition et la soustraction au niveau de la symbolisation et des propriétés de ces opérations.
En P2, on introduit la symbolisation et les propriétés de la multiplication en lien avec les tables (T2, T5 et T10) et les nombres étudiés.
En P3, ça sera au tour de la division.
Les calculs lacunaires travaillent le sens de l’égalité.
En P1, on ne sera pas encore dans la symbolisation mais bien dans la manipulation et la représentation.
Ex. : on place deux ensembles avec le signe « = » entre deux. Un certain nombre d’objets est présent dans chaque ensemble et il faut modifier le 1e ou le 2e ensemble pour respecter l’égalité.
En P2, on viendra formaliser ces manipulations et représentations à travers les calculs lacunaires.
Les symboles des opérations apparaissent progressivement : d’abord les symboles de l’addition et de la soustraction en P1, puis celui de la multiplication en P2 et enfin celui de la division en P3.
La division est l’opération la plus complexe parmi les quatre opérations arithmétiques. En effet, c’est la seule opération pouvant aboutir à deux types de résultats : un quotient dit exact (le reste est alors égal à 0) ou un quotient et un reste autre que 0.
Cela rend délicat l’utilisation d’un symbole. Si le reste est 0, on peut très bien écrire « 15 : 3 = 5″ mais que se passe-t-il pour les autres cas ?
De plus, le nombre 0 joue un rôle particulier dans la division puisqu’on ne peut diviser par 0 alors qu’on peut ajouter et retirer 0 ou multiplier par 0.
Les élèves de P1 sont capables de résoudre des problèmes de partages et de groupements et répondre à des questions simples telles que « 6 partagé en 2, c’est combien ? ». On est alors tenté d’utiliser le symbole « : » pour écrire ces calculs. Cependant, il y a un risque de faire perdre aux élèves le sens des questions auxquelles ils sont pourtant capables de répondre.
Il est donc recommandé de n’introduire le symbole de la division qu’une fois que l’élève est capable de penser la division en relation avec la multiplication.
(Charnay, R. (2018). Réussir en maths à l’école, c’est possible. Hatier. pp. 114-115)
Les tables ne sont pas travaillées séparément mais en lien les unes avec les autres.
Oui.
La réciprocité est citée comme élément pour vérifier un résultat [1.2.6]. Une activité élémentaire a été développée sur le sujet : https://extranet.segec.be/gedsearch/document/56993.
Cette notion se développe en lien avec la construction du sens des opérations [1.2.2].
Lors de la construction des faits numériques de base [1.2.3], la réciprocité est également très importante. En effet, elle permet de relier les faits numériques de l’addition et de la soustraction et ainsi diminuer la charge à mémoriser.
Non.
Les chiffres romains ne faisaient pas non plus partie du programme de Mathématiques précédent.
Ils peuvent éventuellement être abordés en Formation historique lorsqu’on travaille la période Gallo-Romaine par exemple [SH 2.1.4] ou lorsqu’on aborde la notion de siècle pour expliquer l’écriture « XIe siècle » [SH 2.1.1] mais cela n’est pas un attendu du programme de Sciences Humaines (ça ne doit pas être évalué).
En Mathématiques, il n’y a pas grand intérêt à voir les chiffres romains sauf pour faire de l’Histoire des Mathématiques et montrer les pratiques d’autres civilisations. Dans ce cas, il est opportun de le faire également avec la notation des Egyptiens, des Grecs …
Mathématiques P3-P4
L’ordre des champs pour la discipline « Mathématiques » n’a pas d’importance. Il n’y a pas un champ plus important qu’un autre.
Le référentiel a choisi de commencer par « Des objets de l’espace à la géométrie » (espace proche de l’élève) puis « Des grandeurs à la relation entre variables » (mesure de cet espace) puis « De l’arithmétique à l’algèbre » (quantification des mesures) et enfin « De l’organisation des données à la statistique ».
Le programme a choisi de respecter l’ordre des anciens programmes qui est également celui de l’école maternelle (aussi bien pour le programme que le référentiel).
Un nombre décimal est un « nombre rationnel dont l’écriture à virgule est limitée. C’est un nombre qui peut s’écrire sous forme de fraction* décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur* est une puissance de 10. » (Baret et al., 2023, p. 126). Ex. : 3/10 qui peut s’écrit 0,3.
Un nombre à virgule est l’écriture d’un nombre* ayant une partie entière (éventuellement nulle) et une partie non entière non nulle. Ex. : 0,3 mais aussi 0,33333….
1/3 n’est pas un nombre décimal puisqu’il possède une partie non-entière illimitée mais il est possible de l’écrire sous la forme d’un nombre à virgule 0,3333… .
Dans la rubrique spécifique [1.1.2], l’objectif est de comprendre le système numérique de position, ce que sont les nombres, d’associer leur nom à leur écriture et de développer le vocabulaire lié.
Par contre, on ne va pas encore reconnaitre leurs représentations, les comparer, les utiliser dans les calculs. Ce travail se fait uniquement sur les nombres ayant une partie non entière limitée aux dixièmes pour en comprendre le principe et sera étendu par la suite aux centièmes puis aux millièmes.
Les fractions [3.4] se travaillent d’abord en tant que fraction partage sur des grandeurs. Cela permet aux élèves de comprendre le principe du partage en parts égales, d’additionner, de multiplier… sans avoir recours aux nombres. Par la suite, ils peuvent transférer leurs connaissances aux nombres en travaillant la division partage.
Les pourcentages seront développés en P5 lors de l’introduction de la notion de fraction rapport. Le pourcentage c’est le rapport entre deux grandeurs.
Oui, le carré de 100 est toujours utile à travailler. Cependant, il s’agit d’un outil au service de certains attendus et non un attendu en soi. Ex. : dans la rubrique [1.1.3] « Comparer pour situer et ordonner », un attendu lié au savoir-faire « Comparer, ordonner, situer des nombres » est « Compléter des portions d’un tableau numérique où sont donnés quelques nombres (jusqu’à 100 ou jusqu’à 1 000) ». Dans l’étude des faits numériques, le tableau de 100 peut également être utilisé pour représenter les régularités ou les croisements entre les tables de multiplication.
En P3-P4, les fractions [3.4] se travaillent sur des grandeurs et non sur des nombres. Il n’est donc pas nécessaire de maitriser les tables de multiplications pour partager une grandeur en 8 ou en 12 parts.
Oui pour la multiplication écrite mais uniquement par un multiplicateur à un chiffre en P4.
Non pour la division écrite qui est abordée en P5.
Il est important de donner du sens au recours aux algorithmes de calcul écrit [1.2.5].
Même si le référentiel limite l’apprentissage à des multiplicateurs à un chiffre, nous n’utilisons généralement la multiplication écrite qu’avec des multiplicateurs à plus d’un chiffre.
Cependant, lors de l’apprentissage, il est intéressant de repasser par le multiplicateur à un chiffre afin de comprendre le mécanisme.
L’algorithme de la multiplication écrite nécessite une bonne compréhension du système décimal et la maitrise de l’algorithme de l’addition écrite.
Pour la division écrite, elle sera développée en P5. On constate que les élèves ne sont pas prêts en P3-P4.
Apprenons un algorithme à la fois, tranquillement, en prenant le temps pour qu’il soit bien acquis avant d’en travailler un autre.
Il faut distinguer le geste de la décomposition/recomposition [1.1.3] de la mémorisation des faits numériques [1.2.3].
En P3, la décomposition des nombres 100 et 1 000 est travaillée additivement (ex. : 100 c’est 50 et 50) et multiplicativement (ex. : 100 c’est 10 fois 10) ainsi que la décomposition des nombres de 1 à 999 en lien avec la numération décimale (ex. : 764 c’est 7 C, 6 D et 4 U).
En P4, l’accent est mis sur la décomposition du nombre 1 additivement (ex. : 1 c’est 0,1 et 0,9) et multiplicativement (ex. : 1 c’est 10 x 0,1) et la décomposition en lien avec la numération décimale est étendue aux nombres de 3 à 6 chiffres (ex. : 64512 = 6DM + 4UM + 5C+ 1D + 2U ).
L’élève ne doit pas connaitre par cœur toutes les décompositions mais être capable de les réaliser.
Pour ce qui est de la mémorisation, à partir de la P3, l’élève est amené à mémoriser les décompositions de 100 en deux termes ou en deux facteurs.
Par la suite, le principe de la décomposition étant compris (il est travaillé depuis la M3), l’élève peut transposer le principe ainsi que les décompositions mémorisées à n’importe quel nombre.
Non.
De la même façon qu’on travaille les tables d’addition mais pas les tables de soustraction, l’élève est amené à comprendre et mémoriser les tables de multiplication [1.2.3] mais pas les tables de division. En construisant les images mentales des tables de multiplication, en leur donnant du sens, on permet à l’élève d’utiliser ces connaissances dans le cadre des divisions, sans devoir ajouter une mémorisation de faits supplémentaires.
Le développement complet des notions de PPCM et de PGCD nécessite la connaissance des nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers. Ce qui n’est pas, pour l’enseignement fondamental, dans les attendus du référentiel.
On peut cependant approcher la notion de PGCD lorsqu’on travaille en P4 la simplification d’une fraction. En effet, on cherche le plus grand nombre qui permet de diviser le numérateur et le dénominateur.
En P5, on approchera le PPCM lors de l’addition de fractions de dénominateurs différents. En effet, on va chercher le plus petit nombre qui est un multiple des deux dénominateurs en présence.
Par contre, la recherche du PPCM ou du PGCD via la décomposition en facteurs premiers n’est pas à aborder avec les élèves en primaire. En secondaire, la décomposition en facteurs premiers n’est pas explicitement présente dans un attendu mais peut se travailler lors des propriétés des opérations.
Non.
En effet, pourquoi faire la distinction entre le solide et sa surface dans le cas de la sphère alors que cela ne se fait dans aucun autre solide (ex. : le cube) ? Cette distinction n’est pas nécessaire pour la maitrise des solides et de leurs propriétés ni pour la compréhension des formules d’aire ou de volume.
La question se pose également pour le cercle et le disque. Pourquoi distinguer le contour de la surface pour le disque alors qu’on ne le fait pas pour les autres figures planes (ex. : le carré) ? Le temps passé à apprendre ces distinctions peut donc être récupéré pour aborder d’autres apprentissages davantage porteurs pour la suite de la scolarité.
Les notions d’arête et de face sont des propriétés des polyèdres uniquement. Elles ne sont pas d’application dans le cas des non polyèdres.
Ainsi le cône possède une surface courbe et une base plane qui est un disque. La frontière entre ces deux surfaces est un cercle.
Le cylindre possède une surface courbe et deux bases planes qui sont des disques. Là aussi, la frontière entre la surface courbe et une base est un cercle.
Dans la rubrique [3.5.1], on développe des taches élémentaires qui sont tous les outils qui seront utilisés lors de la résolution de situations de proportionnalité directe. Les élèves vont développer les S et SF liés à la proportionnalité directe pour ensuite les mettre en lien lorsqu’ils développeront la compétence C12 à partir de la P5.
Les tables ne sont pas travaillées séparément mais en lien les unes avec les autres.
Oui.
Il est à noter que ce n’est pas seule stratégie possible, les doubles ou presque doubles par exemple peuvent également être parfois utilisés.
Oui … mais avec prudence.
En P4, l’élève apprend à décomposer et recomposer additivement et multiplicativement le nombre 1 [1.1.4]. Il maitrise également le système numérique décimal jusqu’au millième [1.1.2] ainsi que le sens des opérations et les stratégies de calcul mental [1.2.4].
Lorsque cela est bien maitrisé pour les nombres entiers, on peut introduire les opérations sur les nombres à virgule en prolongement de ce qui a été fait sur les nombres entiers et en manipulant le matériel de dénombrement et les abaques.
On commencera par l’addition et la soustraction. Les divisions et multiplications pourront être abordées tranquillement à travers les décompositions vues.
Les multiplications et divisions spécifiques liées aux nombres à virgule viendront en P5 lorsque celles des nombres entiers seront bien acquises avec toujours cette idée de transposer l’apprentissage à un nouvel ensemble de nombres.
La lecture de l’heure sur un support analogique en heures et minutes fait référence à la lecture sans les formes spécifiques que sont les « et quart », « et demie » et « moins le quart ». Il s’agit d’apprendre à décoder l’heure pour l’écrire sous sa forme 10h15 (ou pour faire le parallèle avec l’horloge digitale 10 : 15) et l’oraliser sous la forme 10 heures et 15 minutes.
L’oralisation des formes spécifiques (10 heures et quart) viendra se construire par la suite lorsque la lecture générale est maitrisée.
Notons que ces formes spécifiques ne s’utilisent que pour les heures du matin (avant 12h).
Non.
Les chiffres romains ne faisaient pas non plus partie du programme de Mathématiques précédent.
Ils peuvent éventuellement être abordés en Formation historique lorsqu’on travaille la période Gallo-Romaine par exemple [SH 2.1.4] ou lorsqu’on aborde la notion de siècle pour expliquer l’écriture « XIe siècle » [SH 2.1.1] mais cela n’est pas un attendu du programme de Sciences Humaines (ça ne doit pas être évalué).
En Mathématiques, il n’y a pas grand intérêt à voir les chiffres romains sauf pour faire de l’Histoire des Mathématiques et montrer les pratiques d’autres civilisations. Dans ce cas, il est opportun de le faire également avec la notation des Egyptiens, des Grecs …
Mathématiques P5-P6
L’ordre des champs pour la discipline « Mathématiques » n’a pas d’importance. Il n’y a pas un champ plus important qu’un autre.
Le référentiel a choisi de commencer par « Des objets de l’espace à la géométrie » (espace proche de l’élève) puis « Des grandeurs à la relation entre variables » (mesure de cet espace) puis « De l’arithmétique à l’algèbre » (quantification des mesures) et enfin « De l’organisation des données à la statistique ».
Le programme a choisi de respecter l’ordre des anciens programmes qui est également celui de l’école maternelle (aussi bien pour le programme que le référentiel).
Les tables ne sont pas travaillées séparément mais en lien les unes avec les autres.
Non.
Les chiffres romains ne faisaient pas non plus partie du programme de Mathématiques précédent.
Ils peuvent éventuellement être abordés en Formation historique lorsqu’on travaille la période Gallo-Romaine par exemple [SH 2.1.4] ou lorsqu’on aborde la notion de siècle pour expliquer l’écriture « XIe siècle » [SH 2.1.1] mais cela n’est pas un attendu du programme de Sciences Humaines (ça ne doit pas être évalué).
En Mathématiques, il n’y a pas grand intérêt à voir les chiffres romains sauf pour faire de l’Histoire des Mathématiques et montrer les pratiques d’autres civilisations. Dans ce cas, il est opportun de le faire également avec la notation des Egyptiens, des Grecs …